코시-슈바르츠 부등식, 산술 기하 부등식을 이용한 부등식의 증명 연습문제

인터넷에서 부등식 증명 문제를 보고 고1 수학(하)에 나오는 절대부등식 부분을 연습할 만한 부등식 문제들을 모아 보고 싶었습니다. 아래에 제가 인터넷에서 긁어 온 부등식 문제들과 그 해법을 다룹니다. 총 3개의 문제가 준비되어 있습니다. 이 문제들은 산술·기하 평균 부등식과 -슈바르츠 부등식을 이용해서 해결할 수 있는 부등식입니다.

목차

용어 정리

영어로 조사할 때 사용되는 주요 용어들을 정리합니다.

• 부등식 > Inequality
• 산술·기하 평균 부등식 > AM-GM Inequality(Arithmetic Means and Geometric Means Inequality)
• 코시-슈바르츠 부등식 > Cauchy–Schwarz Inequality

Arithmetic Mean은 산술 평균, Arithmetic Mean은 기하 평균을 의미합니다.

부등식 정리

고등학교 과정에서 본 산술·기하 평균 부등식과 코시-슈바르츠 부등식은 아래와 같습니다.

산술·기하 평균 부등식(고등학교)

$a>0, b>0$일 때,

$$\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$$

(단 등호는 $a=b$이면 성립)

코시-슈바르츠 부등식(고등학교)

$a, b, x, y$가 실수일 때,

$$(a^2+b^2)(x^2+y^2) \ge (ax+by)^2$$

(단 등호는 $\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}$이면 성립)

이 부등식들을 더 많은 항을 가지게 확장시킬 수 있습니다. 확장된 상태라고 보긴 애매하긴 합니다. 고등학교 때 배우는 부등식들은 원래 부등식에서 $n=2$인 경우만 다루는 것이라고 보면 됩니다.

산술·기하 평균 부등식

$$\frac{x_1+ \cdots +x_n}{n} \ge \sqrt[n]{x_1x_2 \cdots x_n}$$

코시-슈바르츠 부등식

$$\left(\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k^2\right) \left(\displaystyle\sum_{k=1}^n b_k^2\right) \ge \left(\displaystyle\sum_{k=1}^n a_kb_k\right)^2$$

문제 1

$x, y, z \gt 0$이고 $x+y+z=1$일 때,

$$xy+yz+zx \ge \sqrt{3xyz}$$

임을 증명하시오.

문제 2

$xyz \ge xy+yz+xz$일 때,

$$\sqrt{xyz} \geq \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}$$

임을 증명하시오.

문제 3

$x, y, z \gt 0$이고 $xyz(x+y+z)=1$일 때,

$$(x+y)(y+z) \ge 2$$

임을 증명하시오.

문제 1 해법

현재 교육과정인 2015 개정 교육과정에는 항 두 개짜리 코시-슈바르츠 부등식도 없지만, 이 부등식을 풀려면 항 세 개짜리 코시-슈바르츠 부등식을 이용해야 합니다. 기본적인 식의 구조는 같습니다. 위에서 소개했던 코시-슈바르츠 부등식에 $n=3$을 대입하고 문자를 바꾼 것에 지나지 않습니다.

$$(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2) \ge (ax+by+cz)^2$$

주어진 부등식의 양변을 제곱하면,

$$(xy+yz+zx)^2 \ge 3xyz$$

식을 정리하면,

$$x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 \ge xyz$$

코시-슈바르츠 부등식에 의해

$$3(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2) \ge (xy+yz+zx)^2$$

이므로 이 부등식을 정리하면,

$$x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 \ge xyz$$

를 얻습니다. 이 부등식은 주어진 부등식과 같으므로 증명 완료.

문제 2 해법

산술·기하 평균 부등식에 의해,

$$xy+xz \ge 2\sqrt{xyxz}=2x\sqrt{yz}$$

$$xy+yz \ge 2y\sqrt{xz}$$

$$xz+yz \ge 2z\sqrt{xz}$$

가 각각 성립하고, 세 부등식의 양변을 더하고 정리하면,

$$xy+xz+yz \ge x\sqrt{yz}+y\sqrt{xz}+z\sqrt{xz}$$

조건에 의해,

$$xyz \ge x\sqrt{yz}+y\sqrt{xz}+z\sqrt{xz}$$

이 부등식의 양변을 $\sqrt{xyz}$로 나누면 주어진 부등식과 같으므로 증명 완료.

문제 3 해법

$$(x+y)(y+z)=xy+y^2+zx+yz=y(x+y+z)+zx$$

조건에 의해,

$$y(x+y+z)+zx=\frac{1}{zx}+zx$$

산술·기하 평균 부등식에 의해,

$$zx+\frac{1}{zx} \ge 2\sqrt{\frac{1}{zx}zx}=2$$

문제 출처

https://math.stackexchange.com/questions/2017063/prove-the-inequality-xyz-geq-xyyzxz-implies-sqrtx-y-z-geq-sqrtx-sq

https://math.stackexchange.com/questions/273428/let-x-y-z0-xyzxyz-1-show-that-xyyz-ge-2