공학용 계산기로 2차방정식의 해 구하기

카시오 공학용 계산기로 2차방정식의 해를 구해 봅시다. 해를 구하는 방법에는 두 가지가 있습니다. solve 기능과 Equation 메뉴입니다. 두 방법에는 각자의 장단점이 있습니다.

이 글은 이런 사람에게 추천합니다!

• 공학용 계산기로 이차방정식의 해를 모두 얻고 싶은 사람

목차

이차방정식의 해 찾기

이론을 주구장창 설명하는 것보다 직접 부딪혀 보는 것이 더 빠를 때도 있습니다. 직접 2차방정식의 해를 찾아봅시다. 키 입력을 따라하시면 됩니다. fx-570EX를 가지고 설명합니다. fx-570ES PLUS도 거의 비슷하게 따라올 수 있습니다. fx-570EX와 다른 점은 따로 설명합니다.

간단한 이차방정식인 $x^2+7x+12=0$을 풀어 봅시다. 우선 MENU 1 을 눌러 Calculate 모드로 옵니다. 이곳은 기본적인 사칙연산을 실행하기 위한 장소입니다.

fx-570ES PLUS는 MODE 1 을 눌러 COMP 모드로 와야 합니다. fx-570EX의 Calculate 모드와 하는 일이 비슷합니다.

방정식을 입력합니다. x x^2 7 x + 1 2

등호를 사용하지 않고 방정식을 입력하면 계산기는 우변에 =0이 있는 것으로 취급합니다. 조금이라도 입력 시간을 줄이기 위해선 이런 작은 팁을 알고 있는 것이 좋습니다.

참고로 등호를 입력할 일이 생기면 계산기 오른쪽 아래에 있는 = 버튼이 아닌 ALPHA CALC 로 입력해야 한다는 것을 유의해 주세요.

fx-570ES PLUS에서는 $x$를 입력할 때 ALPHA ( 으로 입력해야 합니다. 나머지 과정은 fx-570EX와 같습니다.

이제 방정식을 풀 차례입니다. SHIFT CALC 를 입력합니다. 이런 화면이 나옵니다. x=0이 떠 있는 것을 확인할 수 있습니다. 이 수는 방정식의 해가 아닙니다. 여기서 0 대신 다른 수가 떠 있을 수도 있습니다. 이때는 x라는 변수에 0이 아닌 다른 수가 저장되어 있기 때문입니다. 방정식을 푸는 데는 상관이 없습니다.

fx-570ES PLUS에서는 Solve for X라는 글자가 대신 등장합니다.

초기값을 10으로 입력하고 방정식을 풀어 봅시다. 1 0 = =

얼마 시간이 지나지 않으면 해 중 하나인 -3이 나옵니다. 여기서 L-R은 주어진 방정식에 구해진 해를 대입하고 (좌변)-(우변)을 계산한 결과를 뜻합니다. 정확한 해를 찾았다면 L-R은 0으로 나오는 것이 정상입니다. 복잡한 방정식의 경우에는 오차가 생겨 L-R이 정확히 0이 되지 않을 수도 있습니다.

위 예에서는 $(-3)^2+7(-3)+12=0$ 이니 L-R이 정확히 0으로 나왔습니다.

이차방정식은 해가 두 개 있습니다. 다른 해를 구하려면 어떻게 해야 할까요? 다른 초기값을 입력해 주면 됩니다.

초기값을 -100으로 입력해 봅시다. SHIFT CALC - 1 0 0 = = 여기서 AC 는 누르지 마세요. 누른다면 작성한 방정식이 사라집니다.

-4가 해로 나오는 것을 볼 수 있습니다. 해 두 개가 나왔으니 우리는 이차방정식의 모든 해를 찾았습니다.

초기값 입력에 대해 잠시 생각해 봅시다. 가장 간단하게 이해하는 방법은 아래와 같습니다.

• 계산기는 보통 초기값과 가까운 해를 찾는다.
• 무조건 초기값과 가까운 해를 찾는 것은 아니다.
• 특정 초기값을 넣었을 때 어떤 해가 찾아질지 미리 알 수 없다.
• 계산기가 해를 잘 찾게 하려면 초기값을 잘 설정하는 것이 중요하다.

solve 기능으로는 한 번에 하나의 해만 찾을 수 있습니다. Equation 메뉴를 활용하여 한 번에 모든 해를 찾아 봅시다. 천천히 따라오시면 됩니다.

MENU (-) (A) 를 눌러 Equation/Func 메뉴로 진입합니다. MENU 를 누른 뒤 방향키로 찾아가셔도 됩니다.

fx-570ES PLUS는 MODE 5 를 눌러 EQN 모드로 진입하면 됩니다.

우리는 이차방정식의 해를 찾을 것이기 때문에 2 를 눌러 Polynomial(다항식) 메뉴로 들어갑니다. 이후 방정식의 차수를 물어보는데, 2를 눌러서 2차를 선택하면 됩니다.

fx-570ES PLUS는 3 을 눌러 aX²+bX+c=0을 선택하면 됩니다.

계수를 입력하는 화면이 나옵니다. 차례대로 1, 7, 12를 입력합시다. 1 = 7 = 1 2 =

fx-570ES PLUS도 동일하게 따라하면 됩니다.

그 상태에서 = 을 한 번 더 누르면 해가 계산됩니다. ▼ 과 ▲ 로 화면을 스크롤해 두 해를 모두 볼 수 있습니다. fx-570EX의 경우에는 이차함수의 꼭짓점 x좌표와 y좌표도 확인할 수 있습니다.

"solve 기능에 대한 이해" 문단에서 그래프와 함께 solve 기능과 초기값을 설정하는 방법을 더 알아봅시다.

이차방정식의 허근이 나오지 않는다면

일부 이차방정식은 허근을 두 개 가지고 있습니다. 만약 No real root exists가 나오며 허근이 나오지 않는다면 설정을 바꿀 필요가 있습니다. fx-570EX만 해당되며, fx-570ES PLUS는 설정을 바꿀 필요가 없습니다.

SHIFT MENU 를 눌러 Setup으로 진입합니다. ▼ ▼ 를 누르고 1:Equation/Func로 진입합니다. 1 을 눌러 Complex Result를 켜면 됩니다.

설정을 하고 나서 Equation 메뉴로 진입했을 떄 상단에 $i$ 표시가 뜨면 성공한 것입니다. 허근 2개가 있는 이차방정식을 풀어 봅시다.

$x^2+x+1=0$ 을 풀어 봅시다. Equation 메뉴 혹은 EQN 모드로 들어갑니다.

계수를 입력하고 해를 구합니다. 1 = 1 = 1 = =

허근 $\frac{-1 \pm \sqrt{3}i}{2}$ 가 잘 나오는 것을 확인할 수 있습니다.

solve 기능에 대한 이해

방정식의 해를 얻기 위해 가장 흔하게 사용되는 알고리즘은 뉴튼-랩슨 방식입니다. 물론 이 계산기가 이 방식을 사용하는지 여부는 모릅니다. 하지만 이것으로 초기값의 중요성과, 어떻게 초기값을 설정해야 하는지 배울 수 있습니다.

아래 GIF는 뉴튼-랩슨 방식이 어떻게 방정식의 해를 찾는지 시각적으로 보여줍니다.

그래프와 x축의 교점이 방정식의 해입니다. 위 GIF를 보면 반복 횟수가 많아질수록 접선의 x절편이 해에 점점 근접해 갑니다.

초기값이 해와 가까울수록 해를 더 빨리 찾을 수 있습니다. 해가 두 개 있는 경우 보통 초기값과 가까운 해가 찾아집니다.

solve 기능의 한계

• solve 기능은 한 번에 하나의 근만을 찾을 수 있다.
• solve 기능은 복소수 근을 찾을 수 없고 실근만을 찾을 수 있다.
• solve 기능으로 모든 실근을 찾을 수 없을 수도 있다.

또 다른 읽을거리

fx-570EX, fx-570ES PLUS로 적분, 미분 계산하기 글도 추천드립니다.