정사각뿔대의 부피 구하기

고1 수학 문제 중에 정사각뿔대의 높이를 구하라는 문제가 있었습니다. 각뿔대의 부피를 구하려면 큰 각뿔에서 윗쪽의 잘라낸 작은 각뿔의 부피를 빼는 것이 정석인데 이 문제에서는 각뿔대의 윗면과 아랫면의 한 변의 길이와 높이밖에 주지 않았습니다. 이것만을 가지고 정사각뿔대의 부피를 구하는 방법을 알아보고, 공식을 유도해 봅시다.

정사각뿔대의 부피 공식

부피 공식부터 먼저 알려드리겠습니다. 밑면과 윗면의 한 변의 길이를 각각 $a$, $b$, 높이를 $h$라 한다면 정사각뿔대의 부피 $V$는 다음과 같습니다.

$$V=\frac{1}{3}h(a^2+ab+b^2)$$

또한, 굳이 정사각뿔대가 아니더라도 적용할 수 있는 공식이 하나 더 있습니다. 각뿔대의 밑면과 윗면의 넓이를 각각 $S_1$, $S_2$, 높이를 $h$라 하면 각뿔대의 부피 $V$는 다음과 같습니다.

$$V=\frac{1}{3}h(S_1+S_2+\sqrt{S_1S_2})$$

이제 첫 번째 공식을 증명해 봅시다.

정사각뿔대의 부피 공식 증명

증명은 간단합니다. 큰 각뿔과 작은 각뿔의 높이를 알아낸다면 바로 공식을 만들 수 있습니다. 정사각뿔대의 단면을 유심히 봅시다.

큰 직각삼각형과 작은 직각삼각형은 닮음이므로 대응변의 길이 비에 의해 아래와 같은 식을 세울 수 있습니다.

$$h_1 - h : b = h_1 : a$$

식을 정리하여 큰 각뿔대의 높이인 $h_1$에 대한 식을 얻습니다.

$$h_1 = \frac{ah}{a-b}$$

큰 각뿔대의 부피에서 작은 각뿔대의 부피를 뺍니다.

$$V=\frac{1}{3}h_{1}a^2-\frac{1}{3}(h_1-h)b^2$$

$h_1$에 위의 식을 대입하고 잘 정리하면 공식을 얻습니다.

$$V=\frac{1}{3}h(a^2+ab+b^2)$$

BINUBALL이 작성함

fx-570EX, fx-570ES PLUS 등의 계산기 관련 글들을 주로 올립니다. 블로그스팟으로 블로그를 운영하고 있습니다.